20 고유값과 고유벡터의 정의
이 노트의 내용은 부교재 105-110쪽의 내용을 요약한 것이다.
부교재 Example 4.5 반드시 공부하세요
20.1 용어
- eigenvalue : 고유값
- eigenvector : 고유벡터
고유값과 고유벡터는 정방행렬(square matrix)에 대해서만 정의된다.
20.2 고유값과 고유벡터
20.2.1 정의
\(n\)-차원 정방행렬 \(\pmb A\) 이 있을 때, 다음 식을 만족하는 \(\lambda\) 와 벡터 \(\pmb x\)가 존재하면 \(\lambda\) 를 행렬 \(\pmb A\) 의 고유값(eigenvalue), \(\pmb x\) 를 행렬 \(\pmb A\) 의 고유벡터(eigenvector)라고 한다 (부교재 definition 4.6)
\[ \pmb A \pmb x = \lambda \pmb x \]
- 고유벡터는 유일하지 않다. 즉, 벡터 \(\pmb x\) 가 고유벡터이면 \(c \pmb x\) 도 고유벡터이다.
\[ \pmb A (c \pmb x) = c \pmb A \pmb x = c \lambda \pmb x = \lambda (c \pmb x) \]
20.2.2 계산
다음 3개의 문장은 동치이다
- \(\lambda\) 는 행렬 \(\pmb A\) 의 고유값이다.
- 방정식 \((\pmb A - \lambda \pmb I)\pmb x = \pmb 0\) 은 영벡터이외의 해를 가진다(nontrivial solution)
- \(\lambda\) 는 행렬 \(\pmb A - \lambda \pmb I\) 의 행렬식이 0이다.
\[ \operatorname{det}(\pmb A - \lambda \pmb I) = 0 \tag{20.1}\]
20.2.3 중복도와 고유공간
부교재의 Definition 4.9, 4.10, 4.11 에 대한 내용입니다.
대수적 중복도(algebraic multiplicity) 는 특성다항식 식 19.1 이 0인 방정식을 푸는 경우 다항식에서 고유값이 중근(multiple root)의 해로 나타나는 차수를 의미한다.
기하적 중복도(geometric multiplicity) 는 고유값에 대응하는 고유벡터들 중 선형독립인 고유벡터들의 최대 개수를 의미한다.
고유 공간(eigenspace)은 고유값에 대응하는 고유벡터들이 생성하는 벡터공간을 의미한다.
예제 20.1 3차원 행렬 \(\pmb A\) 가 다음과 같을 때
\[\pmb A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right]\]
행렬 \(\pmb A\)의 특성다항식은 다음과 같다.
\[ \operatorname{det}(\lambda \pmb I -\pmb A)= \left|\begin{array}{ccc} \lambda & 0 & 2 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & 0 & \lambda-3 \end{array}\right|=(\lambda-1)(\lambda-2)^2 \] 참고로 특성방정식을 푸는 경우, 방정식 \(\operatorname{det}(\pmb A - \lambda \pmb I)=0\) 이나 \(\operatorname{det}(\lambda \pmb I -\pmb A)= 0\) 중 어느 것을 사용해도 상관없다.
첫번째 고유값은 \(\lambda_1=1\) 이다. 고유벡터를 구하기 위해서는 다음과 같은 방정식을 풀면 된다.
\[ (\lambda_1 \pmb I -\pmb A )\pmb x = \pmb 0 \]
위의 방정식을 풀면
\[ (\lambda_1 \pmb I -\pmb A )\pmb x= (\pmb I -\pmb A )\pmb x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \]
아래와 같이 간단히 할 수 있으며
\[ x_1 = -2x_3, \quad x_2 = x_3 \] 다음과 같은 고유값과 고유벡터를 얻을 수 있다.
\[ \lambda_1=1 \quad \rightarrow \quad x_1=\begin{bmatrix}-2 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} \]
첫번째 고유값은 \(\lambda_1=1\) 이며 대수적 중복도는 1이고 기하적 중복도도 1이다. 이 경우 고유공간 \(E_1\) 은 한 개의 고유벡터 \(\pmb x_1\) 이 생성하는 부분공간을 의미한다.
\[ E_1 = \text{span}\left\{\begin{bmatrix}-2 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} \right\} \]
다음으로 두번째 고유값에 대한 방정식 \((\lambda_2 \pmb I -\pmb A )\pmb x = \pmb 0\) 을 풀면 다음과 같다.
\[ (\lambda_2 \pmb I -\pmb A )\pmb x= (2\pmb I -\pmb A )\pmb x = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \]
이 방정식은 아래와 같이 간단히 할 수 있으며
\[ x_1 = -x_3 \] 다음과 같은 두 개의 고유벡터를 얻을 수 있다.
\[ \lambda_2=2\quad \rightarrow \quad x_2=\begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} \quad x_3=\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} \]
위에서 두번째 고유값은 \(\lambda_2=2\) 이며 대수적 중복도는 2이다. 또한 선형독립인 2개의 고유벡터를 구할 수 있으므로 기하적 중복도는 2이다.
이 경우 \(E_2\) 는 두 개의 고유벡터 \(\pmb x_1, \pmb x_2\) 가 생성하는 부분공간을 의미한다.
\[ E_2 = \text{span}\left\{\begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\right\} \]
\(\blacksquare\)
이제 대수적 중복도와 기하적 중복도가 다른 경우에 대한 예제를 들어보자.
예제 20.2 3차원 행렬 \(\pmb A\) 가 다음과 같을 때
\[\pmb A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]\]
행렬 \(\pmb A\)의 특성다항식은 다음과 같다.
\[ \operatorname{det}(\lambda \pmb I -\pmb A)= \left|\begin{array}{ccc} \lambda-1 & 0 & -2 \\ 1 & \lambda-1 & -3 \\ 0 & 0 & \lambda-2 \end{array}\right|=(\lambda-1)^2(\lambda-2) \] 첫번째 고유값은 \(\lambda_1=1\) 이다. 고유벡터를 구하기 위해서는 다음과 같은 방정식을 풀면 된다.
\[ (\lambda_1 \pmb I -\pmb A )\pmb x = \pmb 0 \]
위의 방정식을 풀면
\[ (\lambda_1 \pmb I -\pmb A )\pmb x= (\pmb I -\pmb A )\pmb x = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \]
아래와 같이 간단히 할 수 있으며
\[ \quad x_1 = x_3 =0 \] 다음과 같은 하나의 고유벡터를 얻을 수 있다.
\[ \lambda_1=1 \quad \rightarrow \quad x_1=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
첫번째 고유값은 \(\lambda_1=1\) 이며 대수적 중복도는 2이지만 기하적 중복도는 1이다. 이 경우 고유공간 \(E_1\) 은 한 개의 고유벡터 \(\pmb x_1\) 이 생성하는 부분공간을 의미한다.
\[ E_1 = \text{span}\left\{\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} \right\} \]
다음으로 두번째 고유값에 대한 방정식 \((\lambda_2 \pmb I -\pmb A )\pmb x = \pmb 0\) 을 풀면 다음과 같다.
\[ (\lambda_2 \pmb I -\pmb A )\pmb x= (2\pmb I -\pmb A )\pmb x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \]
이 방정식은 아래와 같이 간단히 할 수 있으며
\[ x_1 = -2x_3, \quad x_2=5x_3 \] 다음과 같은 한 개의 고유벡터를 얻을 수 있다.
\[ \lambda_2=2\quad \rightarrow \quad x_2=\begin{bmatrix}-2 \\ 5 \\ 1\end{bmatrix} \]
위에서 두번째 고유값은 \(\lambda_2=2\) 이며 대수적 중복도는 1이다. 또한 선형독립인 1개의 고유벡터를 구할 수 있으므로 기하적 중복도는 1이다.
이 경우 \(E_2\) 는 한 개의 고유벡터 \(\pmb x_2\) 가 생성하는 부분공간을 의미한다.
\[ E_2 = \text{span}\left\{\begin{bmatrix}-2\\ 5 \\ 1\end{bmatrix}\right\} \]
\(\blacksquare\)