4  행렬과 연립방정식의 해

4.1 역행렬의 정의

정방행렬 \(\pmb A \in \RR^{n \times n}\)의 역행렬(inverse metrix)이 존재하면 \(\pmb A^{-1}\)로 표시하며 다음을 만족하는 행렬이다.

\[ \pmb A \pmb A^{-1} = \pmb A^{-1} \pmb A= \pmb I \]

• 역행렬은 유일하다.

• 예를 들어 2차원 정방행렬의 역행렬은 다음과 같이 계산할 수 있다.

\[ \pmb A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, ad-bc \ne 0 \rightarrow {\pmb A}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \tag{4.1}\]

위의 2차원 정방행렬의 역행렬에서 만약 \(ad-bc =0\) 이면 역행렬이 존재하지 않는다. 일반적으로 모든 정방행렬의 역행렬이 존재하는 것은 아니다.

4.2 중요한 내용과 정의

• 역행렬의 성질

\[ (\pmb A \pmb B)^{-1} = {\pmb B}^{-1} {\pmb A}^{-1} \]

\[ (\pmb A^T)^{-1} = (\pmb A^{-1})^{T} \]

• 연립방정식의 해

  \(n\)개의 \(n\) 변수 일차연립방정식 \(\pmb A \pmb x = \pmb y\)가 주어졌다고 하자. 여기서 \(\pmb A\)는 \(n \times n\) 정방행렬이다. 만약 \(\pmb A^{-1}\)가 존재하면

  \[ \pmb x = \pmb A^{-1} \pmb y \]