9 행렬의 계수
9.1 계수의 정의
정의 9.1 (계수의 정의) 행렬의 계수(rank)란 행렬의 일차 독립인 행들의 최대 수 또는 일차독립인 열들의 최대 수로 정의된다
\[ rank(\pmb A) = rk(\pmb A) = dim(Col(\pmb A)) = dim(Row(\pmb A)) \] \(\blacksquare\)
꼭 기억해야 할 것은 행렬의 계수는 열들을 이용하여 구한 계수와 행들을 이용하여 구한 계수가 같다는 것이다. 즉, 행렬의 계수는 열의 계수와 행의 계수 중 하나만 구해도 된다는 것이다.
9.2 중요공식
\(rank(\pmb A ) = rank(\pmb A^T)\)
행렬 \(\pmb A \in \RR^n\) 가 정방행렬이고 계수가 \(n\) 이면 역행렬이 존재한다. 약행렬이 존재하면 정칙행렬(non-sigular matrix)이라고 한다.
더 나아가 다음에 나오는 문장은 모두 동치(equaivalent)이다.
모든 \(\pmb A \in \RR^{n \times n}\) 에 대하여
\(\pmb A\) 가 정칙행렬이다.
\(\quad \Leftrightarrow\) \(\pmb A\) 의 열들이 일차독립이다.
\(\quad \Leftrightarrow\) \(\pmb A\) 의 행들이 일차독립이다.
\(\quad \Leftrightarrow\) \(\pmb A\) 의 계수가 \(n\) 이다.
\(\quad \Leftrightarrow\) \(\pmb A\) 의 기약행사다리꼴행렬이 항등행렬이다.
\(\quad \Leftrightarrow\) \(\pmb A \pmb x = \pmb 0\) 해는 영벡터가 유일하다.
최대계수행렬
\(\pmb A \in \RR^{n \times n}\) 에 대하여 \(m \le n\) 이고 \(rank(\pmb A) = m\)이면 \(\pmb A\) 는 최대 행계수를 갖는다. 이 때 \(\pmb A\)를 최대 행계수 행렬(full row rank matrix)이라고한다.
\(\pmb A \in \RR^{n \times n}\) 에 대하여 \(m \le n\) 이고 \(m \ge n\)이고 \(rank(\pmb A) = n\) 이면 \(\pmb A\)는 최대 열계수를 갖는다 A는 최대 열계수 행렬이다라고 한다.이 때 \(\pmb A\)를 최대 열계수행렬((full column rank matrix)이라고 한다.
\(\pmb A\) 가 최대 행계수 행렬 또는 최대 열계수 행렬인 경우 \(\pmb A\) 는 최대 계수를 갖는다 또는 \(\pmb A\) 는 최대 계수 행렬(full rank matrix) 이라고 한다.
9.3 예제
9.3.1 부교재
- Example 2.18 (Rank)
9.3.2 연습문제 1
다음과 같은 \(3 \times 4\) 행렬에 행연산을 적용하여 행사다리꼴 행렬로 만들어 보자.
\[ \pmb A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 5\\ 2 & 5 & 1 & 14 \\ 4 & 9 & 3 & 24 \end{bmatrix} \tag{9.1}\]
\[ \begin{aligned} & \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 5\\ 2 & 5 & 1 & 14 \\ 4 & 9 & 3 & 24 \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ (-2)(\text{1st row}) + (\text{2nd row}) \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 5\\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 4 & 9 & 3 & 24 \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ (-4)(\text{1st row}) + (\text{3rd row}) \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 5\\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ (-1) (\text{2nd row}) + (\text{3rd row}) \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 5\\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \]
위의 결과에서 피봇 행이 2개가 나타나며 나머지 행은 모두 0으로 나타난다. 이러한 결과를 행렬의 계수가 2인 것을 의미하며(\(rank(\pmb A)=2\)). 계수의 정의에 의하여 선형독립인 행의 갯수가 2이다.
따라서 마지막 행은 다른 2개의 행들의 선형조합이고 행연산의 결과로 모든 원소가 0이 되는 것을 알 수 있다.
만약 식 9.1 에 나타난 행렬의 열들을 고려하면 선형독립인 열들이 2개가 될까? 식 9.1 의 행렬 \(\pmb A\) 의 전치 행렬은 열들이 행으로 바뀐 행렬이므로 위와 유사하게 행 연산을 적용하면 선향독립인 열의 개수를 구할 수 있다.
\[ \pmb A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 5 & 9 \\ 1 & 1 & 3 \\ 5 & 14 & 24 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{aligned} & \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 5 & 9 \\ 1 & 1 & 3 \\ 5 & 14 & 24 \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ (\text{change 1st row and 3rd row}) \\ \end{array} \\ \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & 9 \\ 1 & 2 & 4 \\ 5 & 14 & 24 \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ (-2)(\text{1st row}) + (\text{2nd row}) \\ (-1)(\text{1st row}) + (\text{3rd row}) \\ (-5)(\text{1st row}) + (\text{4th row}) \end{array} \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 9 & 9 \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ (\text{change 2nd row and 3rd row}) \\ \\ \end{array} \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 9 & 9 \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ (-1)(\text{2nd row}) + (\text{3rd row}) \\ (-3)(\text{2nd row}) + (\text{4th row}) \\ \end{array} \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \] 위와 같이 4개의 열로 보아도 서로 독립인 열의 개수는 2개임을 알 수 있다.
따라서 행렬의 계수를 구하는 경우는 행을 이용한 연산과 열을 이용한 연산 중 하나만 선택하여 계산하면 된다.