19 행렬식과 대각합
이 노트의 내용은 부교재 100-105쪽의 내용을 요약한 것이다.
19.1 용어
- determinant : 행렬식
- trace : 대각합
행렬식과 대각합은 정방행렬(square matrix)에 대해서만 정의된다.
19.2 행렬식
##행렬식의 정의
정방행렬(square matrix) \(\pmb A\) 의 행렬식(determinant)는 \(\operatorname{det}(\pmb A)\) 로 표기한다.
\(A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) 의 행렬식은 다음과 같이 계산한다.
\[ \operatorname{det}(\boldsymbol{A})=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} . \]
19.2.1 역행렬과 Rank
- Theorm 4.1. 과 Theorem 4.3
행렬 \(\pmb A\) 가 $n n $ 정방행렬(square matrix) 인 경우 다음 3개의 문장이 동치(equivalent)임을 보여준다.
- \(\operatorname{det}(\boldsymbol{A}) \ne 0\)
- \(rank(\boldsymbol{A}) = n\)
- \(\boldsymbol{A}\)은 역행렬이 존재한다
19.2.2 삼각행렬의 행렬식
행렬 \(\pmb T\) 가 상삼각행렬(upper triangular matrix) 또는 하삼각행렬(lower triangular matrix)이면 행렬식은 대각원소(diagonal element)의 곱과 같다.
\[ \operatorname{det}(\boldsymbol{T}) = \prod_{i=1}^n T_{ii} \]
19.2.3 Laplace Expansion
- 행렬식을 계산하는 방법 중 하나는 Laplace Expansion 이며 Theorem 4.2. 에서 설명한다.
- Example 4.3 꼭 읽어보기
19.2.4 행렬식의 성질
\[ \operatorname{det}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) = \operatorname{det}(\boldsymbol{A}) \operatorname{det}(\boldsymbol{B}) \] \[ \operatorname{det}(\boldsymbol{A}^T) = \operatorname{det}(\boldsymbol{A}) \]
\[ \operatorname{det}(\boldsymbol{A}^{-1}) = \frac{1}{\operatorname{det}(\boldsymbol{A})} \]
\[ \operatorname{det}(\lambda \boldsymbol{A}) = \lambda^n \operatorname{det}(\boldsymbol{A}) \]
19.3 대각합
대각합의 정의는 부교재 식 4.18 에서 정의된다.
19.3.1 대각합의 성질
\(\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})+\operatorname{tr}(\boldsymbol{B})\) for \(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\(\operatorname{tr}(\alpha \boldsymbol{A})=\alpha \operatorname{tr}(\boldsymbol{A}), \alpha \in \mathbb{R}\) for \(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\(\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{I}_n\right)=n\)
\(\operatorname{tr}(\boldsymbol{A B})=\operatorname{tr}(\boldsymbol{B} \boldsymbol{A})\) for \(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times k}, \boldsymbol{B} \in \mathbb{R}^{k \times n}\)
대각합은 교환법칙이 성립히기 떄문에 다음과 같은 성질이 성립한다.
\[ \operatorname{tr}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{K} \boldsymbol{L})=\operatorname{tr}(\boldsymbol{K} \boldsymbol{L} \boldsymbol{A}) \] 벡터의 연산에서도 대각합의 교환법칙이 성립디어 다음과 같은 유용한 식이 성립한다.
\[ \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\top}\right)=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{y}^{\top} \boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{y}^{\top} \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} . \]
대각합의 교환법칙때문에 어떤 행렬의 앞에 특정 행렬을 곱하고, 뒤에 역행렬을 곱해도 대각합은 변하지 않는다.
\[ \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{S}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{S}\right) = \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{S} \boldsymbol{S}^{-1}\right)=\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}) \]
19.4 특성다항식
특성다항식(Characteristic polynomial)은 다음과 같이 정의된다 (부교재 definition 4.5)
실수 \(\lambda \in \mathbb{R}\) 와 정방행렬(square matrix) \(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 에 대하여
\[ \begin{aligned} p_{\boldsymbol{A}}(\lambda) & :=\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}) \\ & =c_0+c_1 \lambda+c_2 \lambda^2+\cdots+c_{n-1} \lambda^{n-1}+(-1)^n \lambda^n, \end{aligned} \tag{19.1}\]
19.4.1 행렬식과 대각합과의 관계
\[ c_0 = \operatorname{det}(\boldsymbol A)\]
\[ c_{n-1} = (-1)^n \operatorname{tr}(\boldsymbol A)\]