6 행연산 행렬과 역행렬
강의자료 슬라이드 6번의 기본행렬은 강의 범위에 포함되지 않습니다.
단, 첨가행렬과 행연산을 이용하여 역행렬을 구하는 방법은 반드시 알아야 합니다.
이 연습장에 포함된 예제와 부교재 33-34 페이지 Calculating the Inverse 의 Example 2.9 를 공부하세요.
6.1 역행렬의 공식
먼저 \(2 \times 2\) 행렬의 역행렬을 구하는 공식을 이용해 보자. 다음과 같이 \(2 \times 2\) 행렬 \(\pmb A\) 가 주어졌을 때
\[ \pmb A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \]
식 4.1 를 사용하면 다음과 같이 \(2 \times 2\) 행렬의 역행렬을 구할 수 있다.
\[ \pmb A^{-1} = \frac{1}{(1)(4)-(2)(3) } \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{bmatrix} \]
6.2 행연산과 역행렬
아래에 주어진 두 예제에서 행연산을 이용하여 역행렬을 구해보자.
예제 6.1 (\(2 \times 2\) 행렬의 역행렬) 정방행렬의 역행렬을 구하는 다른 방법 중의 하나는 항등행렬 \(\pmb I\) 와 같이 첨가행렬을 만들고 행연산을 적용하는 것이다. 이제 행연산을 이용하여 \(\pmb A\) 의 역행렬을 구하는 방법을 연습해 보자
이제 \(\pmb A\) 과 이차원 항등행렬 \(\pmb I\) 을 붙여서 만든 첨가행렬은 다음과 같다.
\[ [ ~\pmb A ~|~ \pmb I ~]= \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right] \]
이제 위의 첨가행렬에서 행연산을 이용하여 행렬 \(\pmb A\) 부분을 항등행렬로 만들어 보자.
\[ \begin{aligned} & \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right] \begin{array}{c} \\ (-3)(\text{1st row}) + (\text{2nd row}) \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{array}\right] \begin{array}{c} (1)(\text{2nd row}) + (\text{1st row}) \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{array}\right] \begin{array}{c} \\ (-1/2) (\text{2nd row}) \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 3/2 &-1/2 \end{array}\right] \end{aligned} \]
이렇게 첨가행렬에서 행렬 \(\pmb A\) 부분을 행연산을 이용하여 항등행렬로 만들어 주면 오른쪽의 항등행렬이 \(\pmb A^{-1}\)로 나타난다.
\(\blacksquare\)
예제 6.2 (\(4 \times 4\) 행렬의 역행렬) \[ \pmb A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]
첨가행렬에서 행연산을 이용하여 행렬 \(\pmb A\) 부분을 항등행렬로 만들어 보자.
\[ \begin{aligned} & \left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \begin{array}{c} \\ \\ (-1)(\text{1st row}) + (\text{3nd row}) \\ (-1)(\text{1st row}) + (\text{4th row}) \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \begin{array}{c} \\ \text{swap with 2nd and 4th row} \\ \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right] \begin{array}{c} \\ \\ (-1)(\text{2nd row}) + (\text{3rd row}) \\ (-1)(\text{2nd row}) + (\text{4th row}) \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right] \begin{array}{c} (-1)(\text{4th row}) + (\text{1st row}) \\ \\ \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right] \begin{array}{c} \\ \\ \\ \text{swap with 3rd and 4th row} \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right] \begin{array}{c} \\ \\ \\ (-1)(\text{3rd row}) + (\text{4th row}) \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right] \end{aligned} \]
위의 마지막 결과로 다음과 같은 역행렬이 얻어진다.
\[ \pmb A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \end{bmatrix} \]
\(\blacksquare\)