2 행렬의 도입

2.1 일차연립방정식

다음과 같이 \(n\) 개의 변수 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 에 대한 \(m\) 개의 일차 방정식이 있다면 이를 일차연립방정식(a system of linear equations) 이라고 한다.

\[ \begin{aligned} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n & = y_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n & = y_2 \\ ... & \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \dots + a_{mn} x_n & = y_m \end{aligned} \tag{2.1}\]

위의 일차연립방정식(식 2.1) 에 사용된 변수 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 와 계수 \(a_{ij}\), \(y_i\) 으로 좀 더 보기 좋고 효율적으로 표현하기 위하여 행렬 \(\pmb A\) 와 벡터 \(\pmb x\), \(\pmb y\) 를 다음과 같이 표기하여

\[ \pmb A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}, \quad \pmb x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} ,\quad \pmb y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{bmatrix} \]

식 2.1 의 일차연립방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[ {\pmb A} {\pmb x} = {\pmb y}, \text{ 즉} \quad \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{bmatrix} \tag{2.2}\]

식 2.2 은 \(y_i\)의 값을 계산하는 방법이 벡터 \(\pmb x\) 의 변수 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 와 행렬 \(\pmb A\) 의 \(i\) 번째 행에 있는 계수들 \(a_{i1}, a_{i2}, \dots a_{in}\) 을 다음과 같은 식으로 계산한다는 의미이다. 즉 일차연립방정식(식 2.1) 을 행렬 \(\pmb A\) 와 벡터 \(\pmb x\), \(\pmb y\) 로 표현한 것이다.

\[ \sum_{i=j}^n a_{ij} x_j = y_i, \quad i=1,2,\dots,m \]

이제 위에서 일차연립방정식을 표현할 때 사용한 벡터와 행렬의 정의와 기본 연산에 대하여 알아보자.

2.2 행렬과 벡터

2.2.1 행렬

\(m\) 개의 행과 \(n\) 개의 열을 가진, 즉 \(m \times n\) 행렬은 보통 알파벳 대문자(upper case letter)로 표현하며 다음과 같은 형태로 나타낸다.

행렬 \(\pmb A\) 가 \(m\) 개의 행과 \(n\) 개의 열을 가진 행렬이라면 다음과 같이 표시한다.

\[ \pmb A \in \RR^{m \times n} \]

2.2.2 벡터

벡터(vector)는 일반적인 행렬의 하나의 행 또는 하나의 열을 나타내는 이름으로 사용된다.

행렬의 각 행은 \(1 \times n\) 행렬 혹은 행벡터 (row vector)라고 한다.
행렬의 각 열은 \(m \times 1\) 행렬 혹은 열벡터 (column vector)라고 한다.

벡터는 다음과 같이 숫자를 모아 놓은 형태에 따라서 행벡터(\(\pmb r\))와 열벡터(\(\pmb c\))로 구분할 수 있다.

\[ \pmb r = \begin{bmatrix} 1~ 2 ~3 ~4~ \end{bmatrix} ,\quad \pmb c = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \]

또한 벡터는 위치를 나타내는 개체 (geometric vector)로 사용할 수 있다. 위치의 개념을 더 확장하면 벡터는 \(n\) 개의 숫자(element)를 순서 있게 모아 놓은 모든 집합, 즉 유클리디안 공간(Euclidean space; \(\RR^n\)) 을 구성하는 개체로 사용할 수 있다.

2.3 중요한 내용과 정의

두 행렬이 같다는 정의

\[ \pmb A = \pmb B ~~~ \Leftrightarrow ~~~ a_{ij} =b_{ij} ~~~\forall i,j \]

정방행렬(square matrix)
대각행렬(diagonal matrix)
상삼각 행렬(upper triangular matrix)과 하삼각행렬(lower triangular matrix)
영행렬(zero matrix)
단위행렬(identity matrix)
대칭행렬(symmetric matrix)
스칼라(scalar)