3 행렬의 연산
3.1 행렬의 덧셈과 스칼라곱
3.1.1 덧셈
두 행렬 \(\pmb A\) 와 \(\pmb B\) 를 더하는 규칙은 다음과 같다.
- 두 행렬 \(\pmb A\) 와 \(\pmb B\) 는 행과 열의 갯수가 같아야 한다.
- \(\pmb A + \pmb B = \pmb C\) 라고 하면, 덧셈의 결과로 만들어진 행렬 \(\pmb C\)는 두 행렬과 같은 수의 행과 열을 가지면 각 원소는 다음과 같다.
\[ \pmb A + \pmb B = \pmb C \quad \rightarrow \quad c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \]
3.1.2 스칼라곱
임의의 실수 \(\lambda\) (스칼라)가 주어졌을 때, \(\lambda\) 와 행렬 \(\pmb A\)의 스칼라곱(scalar product) 는 행렬의 모든 원소에 \(\lambda\) 를 곱해준 행렬로 정의된다.
예를 들어 \(\lambda=2\), \(\pmb A \in \RR^{2\times 3}\) 인 경우
\[ \lambda \pmb A = 2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ -2 & 0 & 4 \end{bmatrix} \]
3.2 행렬의 곱셈
먼저 두 행렬 \(\pmb A\) 와 \(\pmb B\) 의 곱셈
\[ \pmb A \times \pmb B \equiv \pmb A \pmb B \]
을 정의하려면 다음과 같은 조건이 만족되어야 한다.
- 행렬 \(\pmb A\) 의 열의 갯수와 행렬 \(\pmb B\) 의 행의 갯수가 같아야 한다
따라서 두 행렬의 곱셈은 순서를 바꾸면 정의 자체가 안될 수 있다.
정의 3.1 (곱셈의 정의) 이제 두 행렬 \(\pmb A \in \RR^{m \times n}\) 와 \(\pmb B \in \RR^{n \times k}\)의 곱셈은 다음과 같이 정의된다.
\[ \pmb A \pmb B = \pmb C\]
행렬 \(\pmb C\) 는 \(m\) 개의 행과 \(k\)개의 열로 구성된 행렬이며(\(\pmb C \in \RR^{m \times k}\)) 각 원소 \(c_{ij}\)는 다음과 같이 정의된다.
\[ c_{ij} = \sum_{l=1}^n a_{il} b_{lk}, \quad i=1,2,\dots,m; j=1,2,\dots,k \]
먼저 간단한 예제로 다음과 같은 두 개의 행렬의 곱을 생각해 보자.
\[ \pmb A \pmb B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(0) + (2)(-1) & (1)(1) + (2)(2) \\ (3)(0) + (4)(-1) & (3)(1) + (4)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ -4 & 11 \end{bmatrix} \]
곱하는 순서를 바꾸어 계산해 보자.
\[ \pmb B \pmb A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0)(1) + (1)(3) & (0)(2) + (1)(4) \\ (-1)(1) + (2)(3) & (-1)(2) + (2)(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \]
위 두 결과를 보면 행렬의 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않음을 알 수 있다.
이제 차원이 다른 두 행렬의 곱셈을 살펴보자.
\[ \pmb A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}, \quad \pmb B = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]
두 행렬의 곱셈은 정의 3.1 에 위하여 다음과 같이 계산할 수 있다.
\[ \pmb A \pmb B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \]
두 행렬의 곱하는 순서를 바꾸면 차원이 전혀 다른 행렬이 얻어진다.
\[ \pmb B \pmb A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 4 & 2 \\ -2 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \]
3.3 중요한 내용과 정의
행렬의 전치(transpose operation): \({\pmb A}^T\)
행렬의 더하기와 스칼라곱의 성질
행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다.
\[ \pmb A \pmb B \ne \pmb B \pmb A \tag{3.1}\]
교환법칙이 성립하지 않는다는 의미는 식 3.1 이 언제나 성립한다는 의미는 아니다. 아래와 같이 특별한 경우 교환법칙이 성립하는 경우도 있다.
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \]
- 행렬의 곱셈은 결합법칙과 배분법칙은 성립한다.
\[ (\pmb A \pmb B) \pmb C = \pmb A (\pmb B \pmb C) \]
\[ (\pmb A + \pmb B) \pmb C = \pmb A \pmb C + \pmb B \pmb C \]