10  선형사상

10.1 선형사상

\(V\) 와 \(W\) 가 벡터공간일 때 함수 \(T :V \rightarrow W\) 가 다음 두 가지 조건을 만족하면 선형사상(linear mapping, linear transformation, homomorphism)이라고 한다.

\[ \begin{aligned} (1) & \quad \forall v_1, v_2 \in V, \quad T(v_1 + v_2) = T(v_1) + T(v_2) \\ (2) & \quad \forall r \in \RR, \quad T(rv_1) = r T(v_1) \end{aligned} \]

• 선형사상의 종류와 성질

다음에 나오는 특별한 성질을 가진 선형사상과 특별한 함수의 정의를 반드시 학습하고 암기하세요

• Injective(단사함수, one-to-one)
• Surjective(전사함수, onto)
• Bijective(전단사함수, one-to-one correspondence)
• 항등함수(\(id_V\))
• 역함수

다음과 같은 용어는 참고로 알아두자.

• Isomorphism (동형사상): \(T : V \rightarrow W\) linear and bijective
• Automorphism (자기동형사상): \(T : V \rightarrow V\) linear and bijective

정리 10.1 (동형사상) 한 벡터공간 \(V\) 가 있어서 \(dim(V)=n\) 이면 동형사상 \(f :V \rightarrow \RR^n\) 이있다.

\(\blacksquare\)