5  가우스소거법과 연립방정식의 해

중요
  • 슬라이드의 1-7페이지를 반드시 먼저 학습하세요
  • 부교재 Deisenroth, Faisal, 와/과 Ong (2020) 의 다음 절을 반드시 학습하세요
    • 2.3.1 Particular and General Solution
    • 2.3.2 Elementary Transformations
    • 2.3.3 The Minus-1 Trick

5.1 행렬의 기본연산

5.1.1 일차연립방정식의 기본연산

기본연산은 일차연립방정식의 해집합을 변화시키지 않으면서 방정식을 변화시켜 해집합을 구하는 다음의 세 가지 연산을 말한다.

  1. 한개의 방정식의 양변에 0이 아닌 상수를 곱하기
  2. 한개의 방정식의 양변에 0이 아닌 상수를 곱한 것을 다른방정식의 양변에 각각 더하기
  3. 방정식의 위치를 바꾸기

5.1.2 행렬의 기본 행연산

기본 행연산(elementary row operation)은 기본연산을 행렬의 행에 시행하는 것을 말한다.

  1. 한 행에 0이 아닌 상수를 곱하기
  2. 한 행에 0이 아닌 상수를 곱한 결과를 다른 행 에더하기
  3. 두 행의 위치를 교환하기

5.2 행렬과 벡터의 곱

\(m \times n\) 인 행렬 \(\pmb A\) 와 \(n\)-차원 벡터 \(\pmb x\)를 곱하는 과정을 다음과 같이 두 개의 서로 다른 형태로 나타낼 수 있다.

  1. 행렬 계산법의 이용

먼저 행렬과 벡터의 곱셈은 행렬 계산법의 이용하여 나타낼 수 있다.

\[ {\pmb A} {\pmb x} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{l=1}^n a_{1l} x_l \\ \sum_{l=1}^n a_{2l} x_l \\ \vdots \\ \sum_{l=1}^n a_{ml} x_l \end{bmatrix} \\ \]

  1. 열벡터의 선형조합

이제 행렬과 벡터의 곱셈을 행렬 \(\pmb A\)을 구성하는 열벡터들의 선형조합(linear combination)으로 나타낼 수 있다.

\[ {\pmb A} {\pmb x} = x_1 \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix} + \cdots + x_n \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} = x_1 {\pmb a}_1 + x_2 {\pmb a}_2 + \cdots + x_n {\pmb a}_n \]

위의 식에서 벡터 \(\pmb a_j\) 는 행렬 \(\pmb A\) 의 \(j\) 번째 열벡터이다.

예제 5.1 먼저 간단한 예제로 다음과 같은 행렬과 벡터의 곱셈을 생각해 보자.

\[ \pmb A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad \pmb x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \]

행렬과 벡터의 곱셈은 앞에서 배운 행렬의 곱셈 방법으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[ \pmb A \pmb x = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1) + (2)(-1) \\ (1)(1) + (-1)(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

이제 행렬과 벡터의 곱셈을 행렬 \(\pmb A\) 의 열들의 선형 조합으로 표시할 수 있다는 것도 알아두자.

\[ \pmb A \pmb x = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} =(1) \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + (-1) \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

행렬과 벡터의 곱셈을을 앞 행렬의 열과 뒷 벡터의 원소의 선형조합으로 나타낼 수 있다는 사실은 다양한 주제에서 유용하게 사용된다.

\(\blacksquare\)

5.3 방정식의 근이 무한개인 경우

교재 슬라이드 4번의 5-7 페이지에는 변수가 3개이고 방정식의 개수가 2개인 경우에 \[ \begin{cases} x_1 - 2 x_2 + 2 x_3 = 6 \\ x_2 -x_3 =2 \end{cases} ~~\leftrightarrow~~ \pmb A \pmb x = \pmb y ~~\leftrightarrow~~ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix} \tag{5.1}\]

아래와 같이 첨가행렬(augmented matrix)을 만들고 기본 행연산을 적용하여 일반해를 구하는 예제가 있다.

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 6\\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right] \tag{5.2}\]

위의 식 5.2 에서 첨가행렬의 왼쪽 부분이 행사다리꼴 행렬(row echelon form)임을 유의하자. 식 5.2 의 두 번째 행에 2를 곱해서 첫번 째 행에 더하면 다음과 같이 기약행사다리꼴 행렬(reduced row echelon form)이 된다.

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 10\\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right] \tag{5.3}\]

이제 방정식을 푸는 3가지 방법에 대하여 알아보자.

(1) 매개변수와 가우스소거법를 이용하는 법

슬라이드에 나오는 방법처럼 식 5.3 에 매개변수(\(x_3=t\))를 사용하기 위하여 첨가행렬의 마지막 행에 \((0,0,1,t)\)를 추가한 후 첨가행렬의 왼쪽을 항등행렬로 바꾸는 행연산을 적용하면(가우스 소거법) 다음과 같은 결과를 얻고

\[ \ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 10\\ 0 & 1 & 0 & t+ 2 \\ 0 & 0 & 1 & t \end{array}\right] \] 해집합은 다음과 같이 주어진다.

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ t+2 \\ t \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad t \in \RR \tag{5.4}\]

(2) 특수해와 선형조합을 이용

다시 식 5.3 에서 제시된 방정식을 열벡터의 선형조합의 형태로 아래와 같이 써보자

\[ \pmb A \pmb x = \pmb y ~~\leftrightarrow~~ x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 2 \end{bmatrix} \tag{5.5}\]

이제 위의 식에서 \(x_3=0\) 으로 놓으면 다음과 같이 \(x_1\) 과 \(x_2\) 만 포함된 간단한 방정식이 나타나며 이를 만족하는 특수해(particular solution) \(\pmb x^*\) 를 다음과 같이 구할 수 있다.

\[ x_3=0,~~ x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 2 \end{bmatrix} ~ \rightarrow~~~ \pmb x^* = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{5.6}\]

위의 식 5.6 에서 구한 특수해 \(\pmb x^*\) 는 식 5.4 에서 주어진 해집합에서 나타난 마지막 벡터이다.

이제 식 5.1 에 주어진 방정식은 특별한 해 \(\pmb x^*\) 만 만족하는 것이 아니므로 일반해(general solution)을 구해야 한다. 일반해를 구하는 방법은 다음과 같이 행렬 \(\pmb A\)의 열들의 선형 조합이 영벡터가 되는 \(\pmb x^{**}\)를 찾는 것이다.

\[ \pmb A \pmb x^{**} = \pmb 0 \quad \leftrightarrow \quad x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{5.7}\]

식 5.7 를 만족하는 해는 유일하지 않다. 하지만 행렬 \(\pmb A\)의 두 번째 열과 세 번째 열의 부호가 반대인 점을 이용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

\[ (0) \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + (1) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} + (1) \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \] 따라서 식 5.7 를 만족하는 해 \(\pmb x^{**}\) 는 쉽게 찾을 수 있다.

\[ \pmb x^{**} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]

이제 \(\pmb A \pmb x^{*} = \pmb y\) 를 만족하는 특수해 \(\pmb x^{*}\) 와 \(\pmb A \pmb x^{**} = \pmb 0\) 를 만족하는 \(\pmb x^{**}\) 를 이용하여 일반해를 구해보자. 임의의 실수 \(t\) 에 대하여 다음과 같은 식이 만족한다.

\[ \pmb A (\pmb x^* + t \pmb x^{**}) = \pmb A \pmb x^* + t \pmb A \pmb x^{**} = \pmb y + t \pmb 0 = \pmb y \quad t \in \RR\]

위의 식에 의하여 이제 일반해를 구하면 다음과 같이 나타나며 이는 매개변수를 이용하여 얻은 해(식 5.4)와 동일하게 나타난다.

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \pmb x^* + t \pmb x^{**} = \begin{bmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}+ t \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad t \in \RR \]

(3) (-1)-추가법

이제 마지막 방법은 부교재 2.3.3 절(32 페이지)에 나온 (-1)-추가법(Minus-1 Trick)에 대하여 배워보자.

식 5.3 는 기약행사다리꼴 행렬로서 첫 번째 행과 두 번째 행이 피봇을 포함한 행이다. 이제 기약행사다리꼴 행렬에 대각원소 위치에 피봇이 없는 행에 대각원소가 -1 인 행을 추가하여 정방행렬로 만들어 보자. 식 5.3 에서 3행에 피봇이 없으므로 대각원소가 -1 이고 나머지가 0인 행을 3행에 다음과 같이 추가한다.

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 10\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{-1} & \color{red}{0} \end{array}\right] \tag{5.8}\]

이제 식 5.8 에서 가장 오른 쪽에 있는 열이 특수해가 되며 대각원소가 -1 은 열벡터가 \(\pmb A \pmb x = \pmb 0\) 을 만족하는 해가 된다.

따라서 방정식의 일반해를 다음과 같이 쓸수 있다.

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}+ t^* \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}+ t \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad t=-t^*, ~~ t \in \RR \]

5.4 영공간과 일반해

식 5.7 에 나타난 것과 같이 주어진 행렬 \(\pmb A\) 의 열들의 선형조합을 영벡터로 만드는 해의 집합을 영공간(Null space)라고 한다.

정의 5.1 일차연립방정식(또는 행렬 방정식) \(\pmb A \pmb x = \pmb 0\) 의 해집합을 \(\pmb A\)의 영공간이라고 하고 \(N (\pmb A)\)라고 표시한다. 즉,

\[ N( \pmb A)=\{ \pmb x: \pmb A \pmb x= \pmb 0 \}\]

위에서 방정식의 해를 찾을 때 특수한 해를 먼저 찾고 일반해를 만드는 작업은 영공간을 찾는 작업과 동일하다.

5.5 중요한 내용과 정의

  • 행사다리꼴 행렬(row echelon form)의 정의
  • 피벗(pivot 혹은 leading entry)의 정의
  • 기약행사다리꼴(reduced row echelon form)의 정의
  • 가우스 소거법의 절차
    • 기본변수(basic variable)와 자유변수(free variable)
    • 매개변수의 이용
  • 연립일차방정식이 유일한 해를 가질 조건
  • 정방행렬의 역행령이 존재하면 영공간은 영벡터와 같다.