7 벡터공간
강의자료 슬라이드 2-5번(군, 필드의 정의)은 강의 범위에 포함되지 않습니다.
부교재 37-40 페이지를 공부하세요.
7.1 벡터공간의 정의와 의미
벡터공간(vector space) 은 어떤 집합 \(S\) 에 다음과 같은 두 개의 연산이 정의된 공간을 말한다.
두 개의 원소에 대한 더하기(addition, \(+\)) 연산의 정의되어 있다.
\[+ ~ ~ : S + S \rightarrow S \tag{7.1}\]
하나의 실수와 한 개의 원소에 대한 스칼라곱(scalar product, \(\cdot\)) 연산이 정의되어 있다.
\[\cdot ~ ~ : \RR \cdot S \rightarrow S \tag{7.2}\]
위에서 더하기 연산이 정의되어 있다는 의미는 다음에 주어진 규칙이 성립한다는 의미이다.
- 집합 \(S\) 가 연산에 대하여 닫혀있다 (closure).
\[ s_1 + b \in S \quad \forall s_1,b \in S \]
- 결합법칙이 성립한다 (Associativity).
\[ (s_1 + s_2) + s_3 = s_1 + (s_2 +s_3) \quad \forall s_1,s_2,s_3 \in S \]
- 항등원이 존재한다 (Neutral element).
\[ s + e = e + s = s \quad \exists e ~~\forall s \in S \]
- 역원이 존재한다 (Inverse element).
\[ s + i = i + s = 0 \quad \exists i ~~\ \forall s \in S \]
일반적으로 항등원(\(e\)) 는 \(0\) 으로 표시하며 역원(\(i\)) 는 \(-s\) 로 표시한다.
- 교환법칙이 성립한다 (Commutativity).
\[ s_1 + s_2 = s_2 + s_1 \quad \forall s_1,s_2 \in S \]
또한 위에서 스칼라곱 연산이 정의되어 있다는 의미는 다음에 주어진 규칙이 성립한다는 의미이다.
- 스칼라곱 연산의 분배법칙이 성립한다 (Distributivity).
\[ r_1(s_1+s_2) = r_1 s_1 + r_2 s_2,~~~ (r_1+r_2)s = r_1 s + r_2 s \quad \forall s_1,s_2 \in S, ~~ \forall r_1,r_2 in \RR \]
- 스칼라곱 연산의 결합법칙이 성립한다
\[ r_1(r_2s) = (r_1 r_2) s \quad \forall s \in S, ~~ \forall r_1,r_2 in \RR \]
- 스칼라곱 연산의 항등원이 존재한다 (Neutral element).
\[ 1 \cdot s = s \quad \forall s \in S \]
일반적으로 벡터공간은 \((S,+,f)\) 라고 표시한다. 이러한 표시에서 함수 \(f\) 는 스칼라곱 연산에 대한 정의를 나타내는 것이며 식 7.2 에 나타나는 대응을 의미한다.
이 강좌에서는 스칼라로 실수만 사용하고 있으므로 벡터공간을 실벡터(real vector space) 라고 부른다.
\[ f : \RR \cdot S \rightarrow S, \quad \text{즉} \quad f(rs) = r \cdot s =rs \]
벡터 공간에서 주의할 점은 두 벡터의 곱하기 가 정의되어 있다는 것이 아니라 하나의 스칼라와 하나의 벡터에 대한 스칼라 곱하기가 정의되어 있다는 것이다.
\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} =? \quad {but} \quad 3 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix} \]
두 벡터의 곱하기 는 나중에 내적(inner product) 란 이름으로 따로 정의한다.
7.2 중요한 내용과 정의
- 벡터공간의 예제 (슬라이드 참조)
- 부분공간(subspace)의 정의와 예제(부교재 39 페이지 Example 2.12 참조)