8  벡터공간의 기저와 차원

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8.1 벡터의 일차독립

벡터공간에 속한 벡터 \(\pmb v_1, ~~ \pmb v_2, ~~\dots ~~, \pmb v_n\) 의 일차결합(또는 선형결합, linear combination)이란 각 벡터에 스칼라를 곱하여 더한 것들이다. 즉 다음과 같은 형태의 식을 벡터 \(\pmb v_1, ~~ \pmb v_2, ~~\dots ~~, \pmb v_n\)의 일차결합(linear combination)이라고 한다:

\[ r_1 \pmb v_1 + r_2 \pmb v_2 + \cdots + r_n \pmb v_n, \quad r_1,r_2,\dots, r_n \in \RR \tag{8.1}\]

정의 8.1 (벡터의 일차독립과 일차종속) 벡터공간에 속한 벡터 \(\pmb v_1, ~~ \pmb v_2, ~~\dots ~~, \pmb v_n\) 가 있다고 하자. 만약 다음 식이 만약 모두 \(0\)인 \(n\)개의 스칼라 \(x_1,x_2,\dots,x_n\)에 대해서만 성립하면 \(n\)개 벡터 \(\pmb v_1, ~~ \pmb v_2, ~~\dots ~~, \pmb v_n\) 들은 일차독립(linearly independent)라고 한다.

\[ x_1 \pmb v_1 + x_2 \pmb v_2 + \dots + x_n \pmb v_n = \pmb 0 \quad \Longleftrightarrow x_1 = x_2 = \dots = x_n =0 \tag{8.2}\]

또한 벡터 \(\pmb v_1, ~~ \pmb v_2, ~~\dots ~~, \pmb v_n\) 가 일차독립이 아니면 일차종속(linear dependent)라고 한다. 벡터 \(\pmb v_1, ~~ \pmb v_2, ~~\dots ~~, \pmb v_n\) 가 일차종속이면 모두 0이 아닌 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 이 존재하여 다음이 성립한다는 것이다.

\[ \exists~ x_1,x_2,\dots,x_n \in \RR \text{ s.t. } (x_1,x_2,\dots,x_n) \ne \pmb 0,\quad \pmb v_1 + x_2 \pmb v_2 + \dots + x_n \pmb v_n = \pmb 0 \tag{8.3}\]

\(\blacksquare\)

예를 들어 다음과 같이 주어진 3개의 3-차원 벡터들은 선형종속이다.

\[ \pmb v_1 = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}, \quad \pmb v_2 = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}, \quad \pmb v_3 = \begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 5 \end{bmatrix} \tag{8.4}\]

왜냐하면 다음과 같이 모두 0이 아닌 스칼라에 의해서 다음 식이 성립하기 떄문이다. 즉 벡터 \(\pmb v_3\)는 \(\pmb v_2\) 에 2를 곱하여 \(\pmb v_1\)에 더한 값과 같다.

\[ \pmb v_3 = \pmb v_1 + 2 \pmb v_2 \quad \Longleftrightarrow \quad \pmb v_1 + 2 \pmb v_2 -\pmb v_3 = 0 \] 주어진 벡터들이 서로 일차독립임을 확인할 수 있는 일반적인 방법은 다음과 같이 가우스소거법을 이용하는 것이다.

  1. 주어진 벡터들을 열로 구성하는 행렬을 만들고 가우스소거법(또는 행사다리꼴)을 적용한다.
  2. 이때 피봇을 포함하는 열의 개수가 선형독립인 벡터의 개수이다.

다음과 같이 식 8.4 의 3개의 벡터를 각 열로 합친 \(3 \times 3\)-차원 행렬에 행연산을 적용하여 피봇이 1인 행사다리꼴을 만들어보자.

\[ \begin{aligned} & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ (-2)(\text{1st row}) + (\text{2nd row}) \\ (-3)(\text{1st row}) + (\text{3rd row}) \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -4 \\ 0 & -2 & -4 \\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ (-1)(\text{2nd row}) + (\text{3rd row}) \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ (-1/2)(\text{2nd row}) \\ \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} (-1)(\text{2nd row}) + (\text{1st row}) \\ \\ \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} \color{red}{1} & 0 & 1\\ 0 & \color{red}{1} & 2\\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \end{aligned} \] 위에서 마지막 행렬의 비봇(빨간 숫자 1)을 포함한 열은 첫 번째 열과 두 번째 열이고 세 번째 열은 첫 번째 열과 두 번째 열의 선형조합으로 나타낼 수 있음을 보여주고 있다. 피봇을 포함하지 않는 세번 째 열의 숫자가 각각 1 과 2라는 것은 세 번째 벡터 \(\pmb v_3=(1)\pmb v_1 + (2) \pmb v_2\) 로 나타날 수 있다는 것을 보여준다.

이제 다음과 같이 주어진 3개의 3-차원 벡터들은 일차독립이다. 즉 3개 벡터의 선형 조합이 0이 될 수 있도록 만드는 스칼라는 모두 0인 경우 밖에 없다.

\[ \pmb v_1 = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}, \quad \pmb v_2 = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}, \quad \pmb v_3 = \begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 4 \end{bmatrix} \tag{8.5}\]

이제 식 8.5 의 3개의 벡터를 각 열로 합친 \(3 \times 3\)-차원 행렬에 행연산을 적용하여 피봇이 1인 행사다리꼴을 만들어보자.

\[ \begin{aligned} & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ (-2)(\text{1st row}) + (\text{2nd row}) \\ (-3)(\text{1st row}) + (\text{3rd row}) \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -4 \\ 0 & -2 & -5 \\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ (-1)(\text{2nd row}) + (\text{3rd row}) \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ (-1/2)(\text{2nd row}) \\ (-1)(\text{3rd row}) \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} (-1)(\text{2nd row}) + (\text{1st row}) \\ (-2)(\text{3rd row}) + (\text{2nd row}) \\ \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} (-1)(\text{3rd row}) + (\text{1st row}) \\ \\ \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} \color{red}{1} & 0 & 0\\ 0 & \color{red}{1} & 0\\ 0 & 0 & \color{red}{1} \\ \end{bmatrix} \end{aligned} \] 식 8.5 의 3개의 벡터로 구성된 행렬에 가우스 소거법을 적용하면 위와 같이 모든 열이 피봇을 포함한 열로 나타난다. 따라서 3개의 벡터는 서로 일차독립이다.

이제 다음과 같이 주어진 4개의 3-차원 벡터들은 일차종속이다.

\[ \pmb v_1 = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}, \quad \pmb v_2 = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}, \quad \pmb v_3 = \begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 4 \end{bmatrix} \quad \pmb v_4 = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \tag{8.6}\]

식 8.6 에 나타난 4개의 벡터가 일차종속임을 어떻게 알 수 있을까? 앞에서와 마찬가지로 식 8.6 에 있는 4개의 벡터들이 열로 구성된 \(3 \times 4\)-행렬에 가우스소거법을 적용해보자.

\[ \begin{aligned} & \begin{bmatrix} \pmb v_1 & \pmb v_2 & \pmb v_3 & \pmb v_4 \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 0\\ 2 & 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 4 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ (-2)(\text{1st row}) + (\text{2nd row}) \\ (-3)(\text{1st row}) + (\text{3rd row}) \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 0\\ 0 & -2 & -4 & 0\\ 0 & -2 & -5 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ (-1)(\text{2nd row}) + (\text{3rd row}) \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 0\\ 0 & -2 & -4 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} (1/2)(\text{2nd row}) + (\text{1st row}) \\ \\ \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -4 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ (-1/2)(\text{2nd row}) \\ \\ \end{array} \\ & \\ \rightarrow & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{aligned} \]

위와 같이 가우스소거법을 적용하여 얻은 행렬에서 피봇을 포함한 열은 1,2,4, 번쨰 열이고 포함하지 않은 열은 3번째 열임을 알 수 있다. 여기서 주어진 벡터들로 행렬을 구성할 때 기약행사다리꼴의 형태가 벡터들을 배열하는 순서에 따라 달라지는 것을 알 수 있다. 즉, \(3 \times 4\)-행렬을 구성할 때 순서를 바꾸어 다음과 같이 \([\pmb v_1 , \pmb v_2 , \pmb v_4, \pmb v_3]\) 로 배열하면 다음과 같은 기약행사다리꼴의 형태가 얻어진다.

\[ \begin{bmatrix} \pmb v_1 & \pmb v_2 & \pmb v_4 & \pmb v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 3\\ 2 & 0 & 0 & 2\\ 3 & 1 & 1 & 4\\ \end{bmatrix} \rightarrow_{\text{가우스소거법}} \rightarrow \begin{bmatrix} \color{red}{1} & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 2 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & -1 \end{bmatrix} \] 위와 같이 피봇이 1인 기약행사다리꼴에서 식 8.6 의 벡터 \(\pmb v_3\)가 나머지 3개의 벡터의 선형조합으로 표현될 수 있다는 의미이다. 따라서 식 8.6 의 벡터는 일차종속이며 기약행사다리꼴의 마지막 열에 나타나 숫자 \((1,2,-1)\)은 \(\pmb v_3\) 가 다음과 같이 다른 벡터의 일차결합으로 나타난는 것을 보여준다.

\[ \pmb v_3 = \begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 4 \end{bmatrix} = (1)\pmb v_1 + (2)\pmb v_2 + (-1)\pmb v_4 = (1) \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix} + (2) \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} + (-1)\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \]

식 8.6 와 같이 3차원 벡터가 4개인 경우 벡터의 값에 관계없이 일차종속으로 나타난다. 이러한 사실은 \(\RR^n\)의 \(n+1\) 개의 벡터는 항상 일차종속이라는 정리(슬라이드 6페이지의 정리 참조)의 결과이다. 즉, \(\RR^n\)에서 \(n\)개보다 더 많은 벡터들은 항상 일차종속이다.

8.2 생성집합과 기저

정의 8.2 (생성집합과 기저) 벡터공간 \(V\) 의 벡터 \(\pmb v_1,\pmb v_n, \dots, \pmb v_m\) 의 일차결합을 모두 모은 집합

\[ W = span\{\pmb v_1,\pmb v_2, \dots, \pmb v_m \} = \{r_1\pmb v_1 + r_2 \pmb v_2 + \cdots+ r_m \pmb v_m: r_1,r_2,\dots,r_m \in \RR \}\]

을 벡터 \(\pmb v_1,\pmb v_n, \dots, \pmb v_m\) 의 생성(span)이라고 하며 \(W\) 의 생성집합(generating set, spanning set) 이라고 한다.

또한 어떤 벡터공간(혹은 부분공간)의 생성집합에 속한 벡터들이 일차독립일 때 이 생성집합을 기저 (basis)라고 한다

\(\blacksquare\)

8.3 중요한 내용과 정의

  • \(\RR^n\) 의 모든 기저는 \(n\)개의 원소를 갖는다.
  • 임의의 벡터공간 \(V\)에 대해서 \(V\)의 부분집합 \(B = \{\pmb b_1,\dots,\pmb b_n\}\) 가 \(V\)의 한 기저라고 하면 다음을 보일 수 있다.
    • \(V\) 의 모든 벡터들은 \(\pmb b_1,\dots,\pmb b_n\) 의 일차결합으로 나타낼 수 있으며 유일하다.
    • \(V\) 의 부분집합이 \(n\) 개보다 많은 벡터를 포함하면 이 부분집합의 벡터들은 일차종속이다.
    • \(V\) 의또다른기저 \(C=\{\pmb c_1,\dots,\pmb c_m \}\) 가있다면\(m=n\) 이다.
  • 벡터공간 \(V\)의 차원(dimension) 은 기저의 개수로 정의되며 \(dim(V)\)로 표시한다.